状态设计优化

概述

优化 dp 时，不止可以从转移过程入手，加速转移。有时，也可以从状态定义入手，通过改变设计状态的方式实现复杂度上的优化。

令人比较头疼的是，这类优化大多不具有通用性，即不能很套路地应用于多个题目中。因此，下文将从具体例题出发，力求提供思路上的启发，希望可以对读者有一定帮助。

例 1

朴素的解法

您一眼秒了它，这不是板子吗？

定义状态 $f_{i,j}$ 为 $A$ 的前 $i$ 位与 $B$ 的前 $j$ 位最长公共子序列，则有

上述做法的时间复杂度 $O(nm)$，无法通过本题。

更优的解法

我们仔细一想，发现了一个性质：最终答案不会超过 $m$。

我们又仔细一想，发现 LCS 满足贪心的性质。

更改状态定义 $f_{i,j}$ 为与 $B$ 前 $i$ 位的最长公共子序列长度为 $j$ 的 $A$ 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）

可以通过预处理 $A$ 的每一位的下一个 $a,b,\cdots ,z$ 的出现位置进行 $O(1)$ 的顺推转移。

复杂度 $O(m^2+26n)$，可以通过本题。

例 2

朴素的解法

看到数据范围，我们考虑状压。

设 $f_{s,i}$ 表示从点 $1$ 出发，仅经过点集 $s$ 中的点能否到达点 $i$。记 $g$ 为原图的邻接矩阵。则有

$$f_{s,i}=\underset{j\in s,j\ne i}{\bigvee }{f}_{s\setminus \{i\},j}\wedge g_{j,i}(i\in s)$$

时间复杂度 $O(n^2\times 2^n)$，写得好看或许能过，但是并不优美。

更优的解法

上面的状态设计中，每个 $dp$ 值只代表一个 bool 值，这让我们觉得有些浪费。

我们可以考虑对于每个状态 $s$ 将 $f_{s,1},f_{s,2},\dots ,f_{s,n}$ 压成一个 int，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 $O(1)$ 转移。

时间复杂度 $O(n^2/w\times 2^n)$, 可以通过这道题，其中 $w$ 为 int 的位数。

例 3

朴素的解法

这是一个模板背包题。

定义状态 $f_{i,j}$ 为选了前 $i$ 个物品，目前背包里塞了 $j$ 的容量的最大价值和。

易得 $f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-v_i}+w_i)$。

$v_i\le {10}^{18}$，无法通过此题。

更优的解法

交换答案和状态的第二维，设 $f_{i,j}$ 为选了前 $i$ 个物品，目前背包里的物品 的价值为 $j$ 的最小体积和。

依然，易得 $f_{i,j}=min(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_i}+v_i)$。

注意状态的第二维改变之后转移也要一起改变。

时间复杂度 $O(n\sum w_i)$，可以通过此题。

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