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DP 优化简介

引入

本页面列举了一些常见的动态规划(dynamic programming,DP)优化方法。所谓 DP 优化,是指许多动态规划问题虽然容易列出朴素的状态转移方程,但直接计算往往效率低下,因此需要借助一些技巧来降低时间复杂度。

这些方法彼此联系紧密,常常包含相似的思想,且往往需要结合多种技巧共同使用。因此,本文仅作粗略分类,侧重介绍一些最基本的思路。

利用常见技巧优化

许多动态规划问题的转移,可以通过常见的算法和数据结构进行优化。

这类技巧有两种常见的情形。第一种情形中,DP 问题有着如下状态转移方程:

f(i)=F(ai,{f(j):j<i}).

其中,当前状态 f(i) 的计算依赖于当前的输入 ai 和之前整个序列的状态 {f(j):j<i}。因此,可以维护一个数据结构,将每次 f(i) 的计算都看作是一次查询操作;而得到当前状态 f(i) 后,可以再执行一次修改操作,更新该数据结构,用于后续的转移。

第二种情形中,DP 问题有着如下状态转移方程:

f(i,)=F(ai,f(i1,)).

其中,每个 f(i,) 都是一个数组或其他较复杂的对象。因此,虽然 f(i,) 只依赖于之前的单个状态,但是单次转移的复杂度很高,需要通过数据结构等技巧进行优化。

前缀和优化 DP

相关页面:前缀和

如果当前状态的计算依赖于之前状态的子段和,那么,可以通过维护前缀和来加速计算。其中,涉及高维前缀和的问题也称为 SOS DP

习题:

单调队列/单调栈优化 DP

主页面:单调队列/单调栈优化

如果当前状态依赖于之前状态的区间最值等信息时,可以通过维护单调队列、单调栈来加速计算。

线段树/树状数组优化 DP

相关页面:线段树树状数组

如果每次状态转移时,查询的都是某段区间上的和、最值等信息,或是单次修改操作涉及区间更新时,可以通过维护线段树、树状数组来加速计算。

习题:

CDQ 分治优化 DP

主页面:CDQ 分治优化 DP

类似前文,将整个 DP 过程看作是一系列查询和修改操作。对于有些问题,顺次计算复杂度过高,可以将整个查询和修改过程离线,利用 CDQ 分治加速计算。

CDQ 分治优化 DP 也常见于下列各类问题中:

倍增优化 DP

相关页面:倍增

有些问题中,需要将状态 f(i) 设为从初始状态开始,进行了 2i 次转移时得到的结果。它利用了倍增的思想转化了原问题,因此常常称为倍增优化 DP。

有些时候,也会将状态转移方程类似

f(i,j)=f(i1,f(i1,j))

的 DP 问题称为倍增(优化)DP。

习题:

利用问题结构优化

许多动态规划问题具备如凸性、单调性等结构性质,合理利用这些性质可以快速求解。

斜率优化 DP

主页面:斜率优化

类似于上一节介绍的优化方法,利用问题的凸性,可以通过维护凸包加速单次转移。

四边形不等式优化 DP

主页面:四边形不等式优化

涉及的函数满足四边形不等式的 DP 问题,往往满足某种决策单调性。利用这一特性,有很多专门的方法可以降低计算复杂度。常见的问题类型包括一维决策单调性问题、区间分拆问题、区间合并问题等。

Slope Trick 优化 DP

主页面:Slope Trick

有些问题中,状态函数的差分(即斜率)在状态转移过程中更容易维护。这种优化也往往需要问题具有凸性。

WQS 二分/凸优化 DP

主页面:WQS 二分

对于带个数限制的最优化 DP 问题,如果不考虑个数限制时,问题更容易解决,且最优价值是关于该限制的凸函数,那么,可以通过 WQS 二分的方法简化计算。

利用数学方法优化

许多动态规划问题的转移,可以通过数学工具加速。

矩阵快速幂优化 DP

相关页面:快速幂

如果 DP 问题的状态转移方程可以写作一个自治的形式

f(i)=F(f(i1)),

也就是说,当前状态 f(i) 只取决于前一个状态 f(i1),而不依赖于其他输入,那么,可以直接通过快速幂加速计算

f(n)=Fn(f(0))

获得最终答案。由于单次操作 F 经常可以写作矩阵的形式,所以这一优化方法常称为矩阵快速幂优化 DP。实际上,任何满足结合律的变换(即任何 幺半群 内的元素)都可以应用该方法加速。

习题:

FFT 优化 DP

相关页面:FFT

如果 DP 问题的状态转移方程是一个卷积的形式,那么,可以考虑用 FFT 加速转移。当然,根据具体的题目,也可能会用到其他多项式技术。

习题:

Lagrange 插值优化 DP

相关页面:Lagrange 插值

有些 DP 问题的状态函数 f(i,j) 是关于 jk 次多项式函数。此时,可以直接暴力计算它在 k+1 个点处的取值,并通过 Lagrange 插值求出 f(i,) 的表达式,进而优化转移甚至直接得到答案。

习题:

通过简化状态优化

除了优化转移外,还可以通过简化状态降低计算复杂度。

DP 套 DP 与 DFA 最小化

主页面:DP 套 DPDFA 最小化

一些 DP 问题的状态函数可以写成 f(i,x) 的形式,但是 x 自身的转移较为复杂,甚至可能依赖于另一个 DP 问题。对于这类问题,可以首先为状态 x 的转移建立自动机,并通过 DFA 最小化的方法减少状态数量,再进行外层 DP。

状态设计优化 DP

主页面:状态设计优化

有些特殊的问题可以通过巧妙的状态设计大幅减少状态数量。

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