数位 DP

经典题型¶

数位 DP 问题往往都是这样的题型，给定一个闭区间，让你求这个区间中满足某种条件的数的总数。

例题洛谷 P2657[SCOI2009]windy 数

题目大意：给定一个区间，求其中满足条件不含前导且相邻两个数字相差至少为 的数字个数。

首先我们将问题转化成更加简单的形式。设表示在区间中满足条件的数的数量，那么所求的答案就是。

分开求解这两个问题。

对于一个小于的数，它从高到低肯定出现某一位，使得这一位上的数值小于这一位上对应的数值。而之前的所有位都和上的位相等。

有了这个性质，我们可以定义表示当前将要考虑的是从高到低的第位，当前该前缀的状态为且前缀和当前求解的数字的大小关系是（表示等于，表示小于）时的数字个数。在本题中，这个前缀的状态就是上一位的值，因为当前将要确定的位不能取哪些数只和上一位有关。在其他题目中，这个值可以是：前缀的数字和，前缀所有数字的，该前缀取模某个数的余数，也有两种或多种合用的情况。

写出状态转移方程：

这里的就是当前枚举的下一位的值，而就是当前能取到的最高位。因为如果，那么你在这一位上取的值一定不能大于求解的数字上该位的值，否则则没有限制。

我们发现，尽管前缀所选择的状态不同，而的三个参数相同，答案就是一样的。为了防止这个答案被计算多次，可以使用记忆化搜索的方式实现。

核心代码：

int dfs(int x, int st, int op)  // op=1 =;op=0 <
{
  if (!x) return 1;
  if (!op && ~f[x][st]) return f[x][st];
  int maxx = op ? dim[x] : 9, ret = 0;
  for (int i = 0; i <= maxx; i++) {
    if (abs(st - i) < 2) continue;
    if (st == 11 && i == 0)
      ret += dfs(x - 1, 11, op & (i == maxx));
    else
      ret += dfs(x - 1, i, op & (i == maxx));
  }
  if (!op) f[x][st] = ret;
  return ret;
}
int solve(int x) {
  memset(f, -1, sizeof f);
  dim.clear();
  dim.push_back(-1);
  int t = x;
  while (x) {
    dim.push_back(x % 10);
    x /= 10;
  }
  return dfs(dim.size() - 1, 11, 1);
}