归并排序

本页面将简要介绍归并排序。

简介

归并排序(英语:merge sort)是一种采用了 分治 思想的排序算法。

工作原理

归并排序分为三个步骤:

  1. 将数列划分为两部分;
  2. 递归地分别对两个子序列进行归并排序;
  3. 合并两个子序列。

不难发现,归并排序的前两步都很好实现,关键是如何合并两个子序列。注意到两个子序列在第二步中已经保证了都是有序的了,第三步中实际上是想要把两个 有序 的序列合并起来。

性质

归并排序是一种稳定的排序算法。

归并排序的最优时间复杂度、平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O(n\log n)

归并排序的空间复杂度为 O(n)

代码实现

伪代码

\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. }\text{待排序的数组}A\text{和用作临时存储的数组}T\\ 2 & \textbf{Output. }\text{数组}A\text{中的元素将会按照不减的顺序进行稳定排序}\\ 3 & \textbf{Method.}\\ 4 & \text{merge}(A,\ T)\\ 5 & \qquad\text{merge0}(A,\ T,\ 0,\ A.length)\\ 6 & \text{merge0}(A,\ T,\ ll,\ rr)\\ 7 & \qquad \textbf{if}\ \ rr - ll \leqslant 1\\ 8 & \qquad\qquad \textbf{return}\\ 9 & \qquad mid \gets \large\lfloor\frac{ll+rr}{2}\rfloor\\ 10& \qquad\text{merge0}(A,\ T,\ ll,\ mid)\\ 11&\qquad\text{merge0}(A,\ T,\ mid,\ rr)\\ 12&\\ 13&\qquad p \gets rr\\ 14&\qquad q \gets mid\\ 15&\qquad\textbf{for}\text{ each } i \text{ in the } ll\dots rr-1\\ 16&\qquad\qquad\textbf{if}\ p\geqslant mid\ or\ q\lt rr\ and\ A[q]\lt A[p]\\ 17&\qquad\qquad\qquad T[i] \gets A[q]\\ 18&\qquad\qquad\qquad q \gets q+1\\ 19&\qquad\qquad\textbf{else}\\ 20&\qquad\qquad\qquad T[i] \gets A[p]\\ 21&\qquad\qquad\qquad p \gets p+1\\ 22&\qquad \text{copy }T[ll\dots rr-1] \text{ to } A[ll\dots rr-1]\\ \end{array}

C++

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void merge(int ll, int rr) {
  // 用来把 a[ll.. rr - 1] 这一区间的数排序。 t 数组是临时存放有序的版本用的。
  if (rr - ll <= 1) return;
  int mid = ll + (rr - ll >> 1);
  merge(ll, mid);
  merge(mid, rr);
  int p = ll, q = mid, s = ll;
  while (s < rr) {
    if (p >= mid || (q < rr && a[p] > a[q])) {
      t[s++] = a[q++];
      // ans += mid - p;
    } else
      t[s++] = a[p++];
  }
  for (int i = ll; i < rr; ++i) a[i] = t[i];
}
//关键点在于一次性创建数组,避免在每次递归调用时创建,以避免对象的无谓构造和析构。

逆序对

归并排序还可以用来求逆序对的个数。

所谓逆序对,就是满足 a_{i} > a_{j} i < j 的数对 (i, j)

代码实现中注释掉的 ans += mid - p 就是在统计逆序对个数。具体来说,算法把靠后的数放到前面了(较小的数放在前面),所以在这个数原来位置之前的、比它大的数都会和它形成逆序对,而这个个数就是还没有合并进去的数的个数,即为 mid - p

另外,逆序对也可以用 树状数组线段树 等数据结构求解。这三种方法的时间复杂度都是 O(n \log n)

外部链接


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