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枚举

枚举是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。

例题

求小于 N 的最大素数

找不到合适的一个数学公式来直接计算答案,不妨依次尝试一个数是否是答案。

如果我们从大到小枚举小于 N 的数,那么原问题转化为如何判断一个数是不是素数。

注意到素数的性质要求不能被 1 和它本身之外的数整除,可以直接用于判断。

枚举的思想是不断地猜测,从可能的集合中一一尝试,然后再判断题目的条件是否成立。

给出解空间

建立简洁的数学模型。

枚举的时候要想清楚可能的情况是什么,要枚举哪些要素?

减少枚举的空间

枚举的范围是什么?是所有的内容都需要枚举吗?

在用枚举法解决问题的时候,一定要想清楚这两件事,否则会带来不必要的时间开销。

例题

一个数组中的数互不相同,求其中和为 0 的数对的个数

枚举两个数的代码很容易就可以写出来。

1
2
3
for (int i = 0; i < n; ++i)
  for (int j = 0; j < n; ++j)
    if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

我们来看看枚举的范围如何优化。原问题的答案由两部分构成,两个数相等的情况和不相等的情况。相等的情况只需要枚举每一个数判断一下是否合法。至于不相等的情况,由于题中没要求数对是有序的,答案就是有序的情况的两倍(考虑如果 (a, b) 是答案,那么 (b, a) 也是答案)。我们对于这种情况只需统计人为要求有顺序之后的答案,最后再乘上 2 就好了。

我们不妨要求第一个数要出现在靠前的位置。代码如下:

1
2
3
for (int i = 0; i < n; ++i)
  for (int j = 0; j < i; ++j)
    if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

不难发现这里已经减少了 j 的枚举范围,减少了这段代码的时间开销。

然而这并不是最优的结果。

两个数是否都一定要枚举出来呢?这里我们发现枚举其中一个数之后,题目的条件已经帮我们确定了其他的要素(另一个数),如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在,就可以省掉枚举后一个数的时间了。

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9
// 要求 a 数组中的数的绝对值都小于 MAXN
bool met[MAXN * 2];
// 初始化 met 数组为 0;
memset(met, 0, sizeof(met));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
  if (met[a[i] + MAXN]) ++ans;
  // 为了避免负数下标
  met[a[i] + MAXN] = 1;
}

选择合适的枚举顺序

比如第一个例题中要求的是最大的符合条件的素数。自然是从大到小枚举比较合适。


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