枚举

本页面将简要介绍枚举算法。

简介

枚举(英语:Enumerate)是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。

枚举的思想是不断地猜测,从可能的集合中一一尝试,然后再判断题目的条件是否成立。

要点

给出解空间

建立简洁的数学模型。

枚举的时候要想清楚:可能的情况是什么?要枚举哪些要素?

减少枚举的空间

枚举的范围是什么?是所有的内容都需要枚举吗?

在用枚举法解决问题的时候,一定要想清楚这两件事,否则会带来不必要的时间开销。

选择合适的枚举顺序

根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数,那自然是从大到小枚举比较合适。

例题

以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。

例题

一个数组中的数互不相同,求其中和为 0 的数对的个数

解题思路

枚举两个数的代码很容易就可以写出来。

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for (int i = 0; i < n; ++i)
  for (int j = 0; j < n; ++j)
    if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

来看看枚举的范围如何优化。原问题的答案由两部分构成:两个数相等的情况和不相等的情况。相等的情况只需要枚举每一个数判断一下是否合法。至于不相等的情况,由于题中没要求数对是有序的,答案就是有序的情况的两倍(考虑如果 (a, b) 是答案,那么 (b, a) 也是答案)。对于这种情况,只需统计人为要求有顺序之后的答案,最后再乘上 2 就好了。

不妨要求第一个数要出现在靠前的位置。代码如下:

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for (int i = 0; i < n; ++i)
  for (int j = 0; j < i; ++j)
    if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;

不难发现这里已经减少了 j 的枚举范围,减少了这段代码的时间开销。

然而这并不是最优的结果。

两个数是否都一定要枚举出来呢?枚举其中一个数之后,题目的条件已经确定了其他的要素(另一个数),如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在,就可以省掉枚举后一个数的时间了。

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// 要求 a 数组中的数的绝对值都小于 MAXN
bool met[MAXN * 2];
// 初始化 met 数组为 0;
memset(met, 0, sizeof(met));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
  if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;
  // 为了避免负数下标
  met[a[i] + MAXN] = 1;
}

习题


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